Question

6．某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績(jī)突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績(jī)是否有關(guān)系，對(duì)年級(jí)名次在1～50名和951～1000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系？
（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1～50名的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

年級(jí)名次 是否近視	1～50	951～1000
近視	41	32
不近視	9	18

附：P（K²≥3.841=0.05）K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算觀測(cè)值k²，對(duì)照數(shù)表，得出結(jié)論；
（2）求出X的取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的頻率，求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算觀測(cè)值得；
k²=$\frac{100{×（41×18-32×9）}^{2}}{50×50×73×27}$=$\frac{300}{73}$≈4.110＞3.841，
因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系；
（2）依題意9人中年級(jí)名次在1～50名和951～1000名分別有3人和6人，
X可取0，1，2，3；
則P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{20}{84}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{45}{84}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}{•C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{18}{84}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$；
所以，X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{20}{84}$	$\frac{45}{84}$	$\frac{18}{84}$	$\frac{1}{84}$

X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=0×$\frac{20}{84}$+1×$\frac{45}{84}$+2×$\frac{1′8}{84}$+3×$\frac{1}{84}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了計(jì)算離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．