Question

18．拋擲一枚質(zhì)地不均勻的骰子，出現(xiàn)向上點(diǎn)數(shù)為1，2，3，4，5，6的概率依次記為p₁，p₂，p₃，p₄，p₅，p₆，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)列{p_n}恰好構(gòu)成等差數(shù)列，且p₄是p₁的3倍．
（Ⅰ）求數(shù)列{p_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）甲、乙兩人用這枚骰子玩游戲，并規(guī)定：擲一次骰子后，若向上點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，則甲獲勝，否者乙獲勝，請(qǐng)問(wèn)這樣的規(guī)則對(duì)甲、乙二人是否公平，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)數(shù)列{p_n}的公差為d，由p₄是p₁的3倍及概率的性質(zhì)，求得，可得數(shù)列{p_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）分別求得甲獲勝的概率和乙獲勝的概率，根據(jù)這2個(gè)概率不相等，可得游戲不公平．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{p_n}的公差為d，由p₄是p₁的3倍及概率的性質(zhì)，有$\left\{\begin{array}{l}{{p}_{1}+3d={3p}_{1}}\\{{6p}_{1}+\frac{6×5}{2}d=1}\end{array}\right.$，
解得 ${p_1}=\frac{1}{16}，d=\frac{1}{24}$，故 ${p_n}=\frac{2n+1}{48}，1≤n≤6，n∈{N^*}$．   
（Ⅱ）不公平，甲獲勝的概率${P_甲}={p_1}+{p_2}+{p_3}=\frac{3+7+11}{48}=\frac{7}{16}$，
乙獲勝的概率為P_乙=P₂+P₄+P₆=$\frac{5+9+13}{48}$=$\frac{9}{16}$，
可得甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率，故游戲不公平．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，概率的性質(zhì)，游戲的公平性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．