Question

12．小畢喜歡把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，他照如圖所示擺成了正三角形圖案，并把每個(gè)圖案中總的石子個(gè)數(shù)叫做“三角形數(shù)”，記為T_n，則$\frac{1}{2{T}_{1}}$+$\frac{1}{2{T}_{2}}$+$\frac{1}{2{T}_{3}}$+…+$\frac{1}{2{T}_{2015}}$=$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 通過觀察可歸納出：第n個(gè)三角形所表示的數(shù)為從1開始到n的自然數(shù)的和，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出T_n，再利用裂項(xiàng)相消法求出式子的和．

解答 解：第1個(gè)三角形表示的數(shù)是1，
第2個(gè)三角形表示的數(shù)是1+2=3，
第3個(gè)三角形表示的數(shù)是1+2+3=6，
第4個(gè)三角形表示的數(shù)是1+2+3+4=10，
…，
第n個(gè)三角形表示的數(shù)是1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，則$\frac{1}{2{T}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{2{T}_{1}}+\frac{1}{2{T}_{2}}+\frac{1}{2{T}_{3}}+…+\frac{1}{2{T}_{2015}}$
=（1$-\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2015}-$$\frac{1}{2016}$）
=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$，
故答案為：$\frac{2015}{2016}$．

點(diǎn)評 本題考查歸納推理，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了觀察、歸納、推理能力，屬于中檔題．