Question

已知函數(shù)f（x）=x³+1．
（1）求函數(shù)f（x）=x³+1在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先根據(jù)切點(diǎn)在曲線上求出m的值，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在x=1處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，從而求出切線方程．（2）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)P（1，f（1））為切點(diǎn)
∴f（1）=2，
∴P （1，2）為切點(diǎn)，
∵y′=3x²
∴y′|_x=1=3，切點(diǎn)為（1，2）
∴函數(shù)f（x）=x³+1在點(diǎn)（1，2）切線方程為y-2=3（x-1），整理得y=3x-1
所以函數(shù)f（x）=x³+1在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程切線方程：3x-y-1=0；
（2）f′（x）=3x²≥0恒成立，
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，明確導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．