Question

已知m∈R，命題p：對任意x∈[0，8]，不等式log

1

3

(x+1)≥m2-3m恒成立；命題q：存在x∈(0，

2π

3

)，使不等式2sin²x+2sinxcosx≤

2

m（sinx+cosx）成立．
（1）若p為真命題，求m的取值范圍；
（2）若p∧q為假，p∨q為真，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：（1）令f（x）=log

1

3

(x+1)，則f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)，利用單調(diào)性可得：f（x）_min=f（8）=-2．不等式log

1

3

(x+1)≥m2-3m恒成立，等價于-2＞m²-3m，解出即可．
（2）不等式2sin²x+2sinxcosx≤

2

m（sinx+cosx）化為：2sinx（sinx+cosx）≤

2

m（sinx+cosx），由于x∈(0，

2π

3

)，可得sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)＞0，可得m≥

2

sinx，由于x∈(0，

2π

3

)，sinx∈（0，1]．因此存在x∈(0，

2π

3

)，使不等式2sin²x+2sinxcosx≤

2

m（sinx+cosx）成立．可得m＞0．由于p∧q為假，p∨q為真，可得p與q必然一真一假．

解答： 解：（1）令f（x）=log

1

3

(x+1)，則f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)，
∵x∈[0，8]，
∴當x=8時，f（x）_min=f（8）=-2．
不等式log

1

3

(x+1)≥m2-3m恒成立，等價于-2＞m²-3m，
解得1≤m≤2．
（Ⅱ）不等式2sin²x+2sinxcosx≤

2

m（sinx+cosx）化為：2sinx（sinx+cosx）≤

2

m（sinx+cosx），
∵x∈(0，

2π

3

)，∴

π

4

＜x+

π

4

＜

11π

12

，
∴sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)＞0，
∴m≥

2

sinx，
∵x∈(0，

2π

3

)，∴sinx∈（0，1]，
∵存在x∈(0，

2π

3

)，使不等式2sin²x+2sinxcosx≤

2

m（sinx+cosx）成立．
∴m＞0．
∵p∧q為假，p∨q為真，
∴p與q必然一真一假．
若p為真，q為假，那么

1≤m≤2 m≤0

，則無解
若p為假，q為真，那么

m＜1或m＞2 m＞0

，則m＞2．
綜上所述：m＞2．

點評：本題綜合考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合命題的真假判定，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．