Question

已知圓M：x²+8x+y²=0和圓N：x²-8x+y²+12=0，點(diǎn)P（x₀，y₀）（y₀≠0），曲線C：x²-

y2

15

=1右支上的動(dòng)點(diǎn)，線段PM、PN分別交圓M于A，交圓N于B．
（1）證明：△PAB是等腰三角形；
（2）記△PAB、△PMN的面積分別為S₁、S₂，求

S2

S1

的取值范圍．
（3）記點(diǎn)A處圓M的切線為l₁，點(diǎn)B處圓N的切線為l₂，求l₁和l₂交點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出圓M，圓N的圓心和半徑，運(yùn)用雙曲線的定義，即可證得PA=PB；
（2）運(yùn)用三角形的面積公式，運(yùn)用雙曲線的第二定義，及雙曲線的范圍，即可得到所求范圍；
（3）運(yùn)用切線的性質(zhì)，得到QA=QB，再由勾股定理，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離，化簡(jiǎn)整理，即可得到Q的軌跡方程．

解答： （1）證明：圓M：x²+8x+y²=0的圓心M（-4，0），半徑為4，
圓N：x²-8x+y²+12=0的圓心N（4，0），半徑為2，
雙曲線C：x²-

y2

15

=1的焦點(diǎn)即為M，N，e=

c

a

=4，準(zhǔn)線x=±

1

4

，
由雙曲線的定義，可得，PM-PN=2a=2，
PM=PA+4，PN=PB+2，即有PA-PB=0，即PA=PB，
則△PAB是等腰三角形；
（2）解：由于△PAB、△PMN的面積分別為S₁、S₂，
設(shè)PA=t，則S₁=

1

2

t²sin∠APB，S₂=

1

2

（t+4）（t+2）sin∠APB，
則有

S2

S1

=

(t+4)(t+2)

t2

=1+

6

t

+

8

t2

=8（

1

t

+

3

8

）²-

1

8

．
由于PM•PN=e（x₀-

1

4

）•e（x₀+

1

4

）=16x₀²-1≥15．
即有（t+4）（t+2）≥15，解得，t≥1（t≤-7舍去）．
即0＜

1

t

≤1，則

S2

S1

∈（1，15]；
（3）解：連接QM，QN，由于PA=PB，
點(diǎn)A處圓M的切線為l₁，點(diǎn)B處圓N的切線為l₂，
則QA=QB，
設(shè)l₁和l₂交點(diǎn)Q（x，y），
則

QM2-AM2

=

QN2-BN2

，
即有

(x+4)2-16

=

(x-4)2-4

，
化簡(jiǎn)得，x=

3

4

．
則l₁和l₂交點(diǎn)Q的軌跡方程為x=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義和方程、性質(zhì)，考查直線和圓相切的條件，考查三角形面積公式的運(yùn)用，考查軌跡方程的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．