【題目】已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有極值點.
(1)求實數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在區(qū)間的最大值為且最小值為,求的取值范圍.
參考數(shù)據(jù):.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)對函數(shù)求導(dǎo),因為,所以,令,對其求導(dǎo)利用分類討論參數(shù)的取值范圍進而研究的單調(diào)性,其中當(dāng),單調(diào)性唯一,滿足條件,當(dāng),導(dǎo)函數(shù)存在零點,原函數(shù)由極值點不滿足條件,綜上得答案;
(2)由(1)可知的單調(diào)性,利用分類討論當(dāng),在上單調(diào)遞增,即可表示M,m,從而表示,視為關(guān)于的函數(shù),可求得值域,同理當(dāng)時,可求得的值域,比較兩類結(jié)果的范圍,求得并集,即為答案.
(1)因為函數(shù),求導(dǎo)得,
令,
則,則在上單調(diào)遞增,
①.若,則,則在上單調(diào)遞增,
②.若,則,則,則在上單調(diào)遞減;
③.若,則,又因為在上單調(diào)遞增,結(jié)合零點存在性定理知:存在唯一實數(shù),使得,
此時函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值點,矛盾.
綜上,
(2)由(1)可知,,,
①.若,則在上單調(diào)遞增,則,,
則是關(guān)于的減函數(shù),故;
②.若, 則在上單調(diào)遞減,則,而;
則是關(guān)于的增函數(shù),故;
因為,故,
綜上,
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸,取相同長度單位建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)直線與軸交點為,經(jīng)過點的直線與曲線交于,兩點,證明:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的值域;
(2)若不等式對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點為,左右兩頂點,點為橢圓上任意一點,滿足直線的斜率之積為,且的最大值為4.
(1)求橢圓的標(biāo)準方程;
(2)已知直線與軸的交點為,過點的直線與橢圓相交與兩點,連接點并延長,交軌跡于一點.求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐的底面ABCD為菱形,,側(cè)面PAD與底面ABCD所成的角為,是等邊三角形,點P到平面ABCD距離為.
(1)證明:;
(2)求二面角余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知矩陣,,直線經(jīng)矩陣所對應(yīng)的變換得到直線,直線又經(jīng)矩陣所對應(yīng)的變換得到直線,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中, ,動點滿足:以為直徑的圓與軸相切.
(1)求點的軌跡方程;
(2)設(shè)點的軌跡為曲線,直線過點且與交于兩點,當(dāng)與的面積之和取得最小值時,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義上的函數(shù),則下列選項不正確的是( )
A.函數(shù)的值域為
B.關(guān)于的方程有個不相等的實數(shù)根
C.當(dāng)時,函數(shù)的圖象與軸圍成封閉圖形的面積為
D.存在,使得不等式能成立
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,已知,且對一切都成立.
(1)當(dāng)時.
①求數(shù)列的通項公式;
②若,求數(shù)列的前項的和;
(2)是否存在實數(shù),使數(shù)列是等差數(shù)列.如果存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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