Question

13．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=AD=2，AA₁=3，棱AD在平面α內(nèi)，則長方體在平面α內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是4≤S≤2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 由題意，四邊形ABCD和ADD₁A₁的面積分別為4和6，長方體在平面α內(nèi)的射影可由這兩個(gè)四邊形在平面α內(nèi)的射影組合而成．分別求出最小與最大，即可求出長方體在平面α內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形面積的取值范圍．

解答 解：由題意，四邊形ABCD和ADD₁A₁的面積分別為4和6，長方體在平面α內(nèi)的射影可由這兩個(gè)四邊形在平面α內(nèi)的射影組合而成．顯然，S_min=4．
若記平面ABCD與平面α所成角為θ，則平面ADD₁A₁與平面α所成角為$\frac{π}{2}$-θ．
它們?cè)谄矫姒羶?nèi)的射影分別為4cosθ和6cos（$\frac{π}{2}$-θ）=6sinθ，
所以，S=4cosθ+6sinθ=2$\sqrt{13}$sin（θ+φ）（其中，tanφ=$\frac{2}{3}$），
因此，S_max=2$\sqrt{13}$，當(dāng)且僅當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$-φ時(shí)取到．
因此，4≤S≤2$\sqrt{13}$．
故答案為：4≤S≤2$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查長方體在平面α內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形面積的取值范圍，考查三角函數(shù)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．