Question

成都某中學2011年進行評定高級職稱工作時，數學組、語文組各有2人夠資格，能評上高級職稱的可能性分別為

2

3

和

1

2

，且每個人是否評上互不影響．
（1）求這兩個組各有1人評上的概率；
（2）求這兩個組至少有1人評上的概率；
（3）求數學組評上的人數ξ的期望和方差．

Answer 1

分析：（1）由題意設A_k表示數學組評上k人（k=0，1，2），設B_i表示語文組評上i人（i=0，1，2），利用獨立事件同時發(fā)生的定義及獨立事件同時發(fā)生的概率公式即可求得；
（2）有（1）中所設A_k表示數學組評上k人（k=0，1，2），設B_i表示語文組評上i人（i=0，1，2）且每個事件之間為相互獨立事件，又此問根據題意正面所包含的事件太多，利用正難則反的原則，可以根據對立事件來求解即可；
（3）利用隨機變量的定義及隨機變量的期望的定義即可求值．

解答：解：設A_k表示數學組評上k人（k=0，1，2），設B_i表示語文組評上i人（i=0，1，2）．P(Ak)=

C

k 2

(

2

3

)k(

1

3

)2-k，P(Bi)=

C

i 2

(

1

2

)i(

1

2

)2-i=

C

i 2

(

1

2

)2．
（1）P=P(A1•B1)=P(A1)•P(B1)=

C

1 2

(

2

3

)(

1

3

)

C

1 2

(

1

2

)2=

2

9

；
（2）P=1-P(A0•B0)=1-P(A0)•P(B0)=1-(

1

3

)2(

1

2

)2=

35

36

；
（3）由題意ξ～B(2，

2

3

)
∴期望Eξ=2×

2

3

=

4

3

，方差Dξ=2×

2

3

×

1

3

=

4

9

，
答：（1）這兩個組各有1人評上的概率是

2

9

；
（2）這兩個組至少有1人評上的概率是

35

36

；
（3）數學組評上的人數ξ的期望Eξ=2×

2

3

=

4

3

，方差Dξ=2×

2

3

×

1

3

=

4

9

．

點評：此題考查了隨機變量的定義及離散型隨機變量的期望，還考查了獨立事件同時發(fā)生的定義及其概率公式及學生的理解題意的能力．