Question

6．已知拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上，經(jīng)過點(diǎn)P（0，4）作直線l，如果直線l與拋物線C相交于兩點(diǎn)，設(shè)A，B，那么以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線l與直線6x-3y+2=0平行，l與拋物線C交于D，E兩點(diǎn)，求以DE為直徑的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)出拋物線方程，再設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求出A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的乘積，結(jié)合$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$求得p的值，則拋物線方程可求；
（2）求出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出DE中點(diǎn)的坐標(biāo)，再由弦長公式求出|DE|，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得答案．

解答 解：（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為x²=2py（p＞0）．
設(shè)直線l的方程為y=kx+4，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，得：x²-2kpx-8p=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2kp，x₁x₂=-8p，
y₁y₂=（kx₁+4）（kx₂+4）=k²x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16=-8k²p+8k²p+16=16．
由題意可知，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=0$．
即-8p=16=0，∴p=2．
則拋物線C的方程為x²=4y；
（2）直線l與直線6x-3y+2=0平行，且過點(diǎn)（0，4），
則直線l的方程為y=2x+4，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-8x-16=0．
∴x_D+x_E=8，x_Dx_E=-16，
y_D+y_E=2（x_D+x_E）+8=2×8+8=24．
∴DE的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4，12），
r=$\frac{1}{2}|DE|$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{2}^{2}}\sqrt{{8}^{2}+4×16}=4\sqrt{10}$．
∴以DE為直徑的圓的方程為（x-4）²+（y-12）²=160．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，平面解析式的基礎(chǔ)知識(shí)．考查了考生的基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和知識(shí)遷移的能力，是中檔題．