Question

15．已知，棱長為2的正方體內(nèi)有一內(nèi)接四面體A-BCD，且B，C分別為正方體某兩條棱的中點(diǎn)，其三視圖如圖所示：
（Ⅰ）求證：AD⊥BC；
（Ⅱ）求四面體A-BCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)已知中的三視圖，確定A，B，C，D四點(diǎn)的位置，令E為AD的中點(diǎn)，連接BE，CE，證明AD⊥平面BCE，即可證明AD⊥BC；
（Ⅱ）利用割補(bǔ)法，可求出四面體A-BCD的體積．

解答 （Ⅰ）證明：由已知中的三視圖，可得A，B，C，D四點(diǎn)位置如下圖所示：

∵正方體的棱長為2，故AB=BD=AC=CD=$\sqrt{5}$，AD=2$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{6}$，
令E為AD的中點(diǎn)，連接BE，CE，
則BE⊥AD，CE⊥AD，
則AD⊥平面BCE，
∴AD⊥BC；
（Ⅱ）解：由勾股定理可得：BE=CE=$\sqrt{2}$，
由海倫公式平面BCE的面積S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又由AD=2$\sqrt{3}$，
故四面體A-BCD的體積V=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{3}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀．