Question

15．已知拋物線(xiàn)Γ：x²=2py（p＞0），焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)Γ上，且P到F的距離比P到直線(xiàn)y=-2的距離小1．
（1）求拋物線(xiàn)Γ的方程；
（2）若點(diǎn)N為直線(xiàn)l：y=-5上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N做拋物線(xiàn)Γ的切線(xiàn)NA與NB，切點(diǎn)分別為A，B，求證：直線(xiàn)AB恒過(guò)某一定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y）利用條件列出方程求出p；
（2）設(shè)N（a，-5），求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線(xiàn)AB的方程．

解答 解：（1）拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-$\frac{p}{2}$，
設(shè)P（x，y），則PF=y+$\frac{p}{2}$，P到直線(xiàn)y=-2的距離為y+2，
∴y+$\frac{p}{2}$+1=y+2，
∴p=2．
∴拋物線(xiàn)Γ的方程是x²=4y．
（2）拋物線(xiàn)方程化為f（x）=$\frac{{x}^{2}}{4}$，f′（x）=$\frac{x}{2}$．
設(shè)N（a，-5），A（x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$），則f′（x₀）=$\frac{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+5}{{x}_{0}-a}$，
即$\frac{{x}_{0}}{2}$=$\frac{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+5}{{x}_{0}-a}$，解得x₀=a±$\sqrt{{a}^{2}+20}$．
∴A（a-$\sqrt{{a}^{2}+20}$，$\frac{{a}^{2}+10-a\sqrt{{a}^{2}+20}}{2}$），B（a+$\sqrt{{a}^{2}+20}$，$\frac{{a}^{2}+10+a\sqrt{{a}^{2}+20}}{2}$）．
∴直線(xiàn)AB的方程是$\frac{y-\frac{{a}^{2}+10-a\sqrt{{a}^{2}+20}}{2}}{a\sqrt{{a}^{2}+20}}$=$\frac{x-（a-\sqrt{{a}^{2}+20}）}{2\sqrt{{a}^{2}+20}}$．
整理得y=$\frac{a}{2}$x+5．
∴直線(xiàn)AB橫過(guò)點(diǎn)（0，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì)，曲線(xiàn)的切線(xiàn)求法，是中檔題．