Question

18．若g（x）=$\frac{x-2}{x-a}$在區(qū)間（3，+∞）上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． a≤3
• B． 2＜a≤3
• C． a＞2
• D． a＜2

Answer 1

分析 解法一：若g（x）=$\frac{x-2}{x-a}$在區(qū)間（3，+∞）上是減函數(shù)，則g′（x）≤0且a≠2在區(qū)間（3，+∞）上恒成立，由此可得a的取值范圍．
解法二：利用分離常數(shù)法，將函數(shù)的解析式化為反比例型函數(shù)，借助反比例型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得滿足條件的a的取值范圍．

解答 解法一：若g（x）=$\frac{x-2}{x-a}$在區(qū)間（3，+∞）上是減函數(shù)，
則g′（x）≤0且a≠2在區(qū)間（3，+∞）上恒成立，
即$\frac{2-a}{（x-a）^{2}}$≤0且a≠2在區(qū)間（3，+∞）上恒成立，
解得：2＜a≤3，
解法二：g（x）=$\frac{x-2}{x-a}$=$\frac{a-2}{x-a}+1$的圖象，
是由函數(shù)y=$\frac{a-2}{x}$的圖象向右平移a個單位，再向上平移1個單位得到的，
當a-2＞0時，d（-∞，a）和（a，+∞）均為減函數(shù)，
當a-2＜0時，d（-∞，a）和（a，+∞）均為增函數(shù)，
若g（x）=$\frac{x-2}{x-a}$在區(qū)間（3，+∞）上是減函數(shù)，
則a-2＞0且（3，+∞）⊆（a，+∞），
解得：2＜a≤3，
故選：B

點評 函數(shù)在開區(qū)間上的單調(diào)增可轉(zhuǎn)化成其導函數(shù)恒大于等于0，單調(diào)減可轉(zhuǎn)化成其導函數(shù)恒小于等于0，屬于基礎題．