Question

6．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l，焦點為F，圓M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切．過原點作傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線n，交l于點A，交圓M于另一點B，且AO=OB=2．
（1）求圓M和拋物線C的方程．
（2）若點P（x，y）（x＞0）為拋物線C上的動點，求$\frac{\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PF}}{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OF}}$的最小值；
（3）過l上的動點Q向圓M作切線，切點為S、T，求證：直線ST恒過一個定點，并求該定點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\frac{p}{2}$=AO•cos60°，可求出p的值，從而求出拋物線方程，由圓心和半徑的關(guān)系，可求出⊙M的方程；
（2）求得向量PM，PF和OP，OF的坐標(biāo)，表示出$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OF}$，然后根據(jù)點在拋物線上將y消去，運用基本不等式可得最小值；
（3）以點Q這圓心，QS為半徑作⊙Q，則線段ST即為⊙Q與⊙M的公共弦，設(shè)點Q（-1，t），根據(jù)QS²=QM²-4=t²+5，求出直線ST的方程，使直線與t無關(guān)，可求出定點坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l：x=-$\frac{p}{2}$，焦點為F（$\frac{p}{2}$，0），
因為$\frac{p}{2}$=AO•cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，即p=2，
則拋物線C的方程為y²=4x；
設(shè)⊙M的半徑為r，則r=$\frac{OB}{2}$•$\frac{1}{cos60°}$=OB=2，
則⊙M的方程為（x-2）²+y²=4；
（2）設(shè)P（x，y）（x＞0），且M（2，0），F(xiàn)（1，0），
則$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=（2-x，-y）•（1-x，-y）
=x²-3x+2+y²=x²-3x+2+4x=x²+x+2，
$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OF}$=（x，y）•（1，0）=x，
則$\frac{\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PF}}{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OF}}$=$\frac{{x}^{2}+x+2}{x}$=x+$\frac{2}{x}$+1≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$+1=1+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$時，$\frac{\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PF}}{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OF}}$有最小值為1+2$\sqrt{2}$；
（3）證明：以點Q這圓心，QS為半徑作⊙Q，
則線段ST即為⊙Q與⊙M的公共弦，
設(shè)點Q（-1，t），則QS²=QM²-4=t²+5，
所以⊙Q的方程為（x+1）²+（y-t）²=t²+5，
從而直線ST的方程為3x-ty-2=0（*）
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-2=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=0}\end{array}\right.$一定是方程（*）的解，
所以直線ST恒過一個定點，且該定點坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，0）．

點評 本題主要考查了圓的方程和拋物線方程，以及向量數(shù)量積的最值的求法，注意運用基本不等式，考查直線恒過定點問題的解法，是一道綜合題，屬于中檔題．