已知F1、F2分別是橢圓M:
x2
a2
+
y2
a2-2
=1(a>
2
)的左右焦點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓M上一點(diǎn),且
PF1
PF2
=0,則離心率e取最小值時(shí)橢圓M的方程為( 。
A、
x2
8
+
y2
6
=1
B、
x2
4
+
y2
2
=1
C、
x2
6
+
y2
4
=1
D、
x2
16
+
y2
14
=1
考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:本題通過條件將向量條件轉(zhuǎn)化不幾何條件,再得到參數(shù)a、b、c的不等關(guān)系,得到離心率e的取值范圍,從而求出離心率e取最小值時(shí)橢圓M的方程,得到本題結(jié)論.
解答: 解:∵F1、F2分別是橢圓M:
x2
a2
+
y2
a2-2
=1(a>
2
)的左右焦點(diǎn),
∴b2=a2-2,c2=a2-b2=2.
c=
2

∵點(diǎn)P是橢圓M上一點(diǎn),且
PF1
PF2
=0,
∴PF1⊥PF2
∴在直角三角形PF1F2中,PO=
1
2
F1F2
=
2

∵b≤PO<a,
∴b≤
2
<a,
∴a2-2≤2<a2,
2
<a≤2

c=
2
,
e=
c
a
∈[
2
2
,1)

離心率e取最小值時(shí),a=2.
∴a2=4,b2=2.
橢圓方程為:
x2
4
+
y2
2
=1

故答案為:B.
點(diǎn)評(píng):本題考查了向量垂直的轉(zhuǎn)化、橢圓的離心率、橢圓的方程,本題難度不大,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知方程
x2
10-k
+
y2
k-2
=1表示橢圓.
(1)求k的取值范圍;
(2)若橢圓經(jīng)過點(diǎn)(1,-
3
),求橢圓的方程、離心率和準(zhǔn)線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a∈(0,
π
2
),b∈[0,
π
2
],則2a-
b
3
的范圍
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C1:2x2-y2=1.
(1)過C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線,求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積;
(2)過點(diǎn)Q(-
2
2
)
作直線l與雙曲線C1有且只有一個(gè)交點(diǎn),求直線l的方程;
(3)設(shè)橢圓C2:4x2+y2=1.若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn),且OM⊥ON,求證:O到直線MN的距離是定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).
(1)求直線AB和AC的斜率;
(2)若點(diǎn)D在線段BC上(包括端點(diǎn))移動(dòng),求直線AD的斜率的變化范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=
2-lg(3-x)
的定義域?yàn)?div id="s264yqu" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)x,y滿足
x≥0
y≥0
x+y≤1
,則
x+y
x-2
的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
|log2x|0<x≤2
-
1
2
x+4
x>2
,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則abc的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

比較a=(
1
3
0.2與b=2 
1
3
的大。

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