Question

16．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為L，G、E、F分別為AA₁、AB、BC的中點，求平面GEF的一個法向量．

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標系，利用線面垂直的性質、向量與數量積的關系即可得出．

解答 解：如圖所示，
A（L，0，0），B（L，L，0），C（0，L，0），A₁（L，0，L），
G$（L，0，\frac{L}{2}）$，E$（L，\frac{L}{2}，0）$，F$（\frac{L}{2}，L，0）$．
∴$\overrightarrow{EF}$=$（-\frac{L}{2}，\frac{L}{2}，0）$，$\overrightarrow{GE}$=$（0，\frac{L}{2}，-\frac{L}{2}）$．
設平面GEF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GE}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{L}{2}x+\frac{L}{2}y=0}\\{\frac{L}{2}y-\frac{L}{2}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．

點評 本題考查了線面垂直的性質、向量與數量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．