19．若x＞0，求x+$\frac{1}{x}$+$\frac{16x}{x^2+1}$的最小值，并求取得最小值時的x值．

分析 x＞0，可得x+$\frac{1}{x}$≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號．令$x+\frac{1}{x}$=t∈[2，+∞），則x+$\frac{1}{x}$+$\frac{16x}{x^2+1}$=t+$\frac{16}{t}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵x＞0，∴x+$\frac{1}{x}$≥$2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號．
令$x+\frac{1}{x}$=t∈[2，+∞），
則x+$\frac{1}{x}$+$\frac{16x}{x^2+1}$=$x+\frac{1}{x}$+$\frac{16}{x+\frac{1}{x}}$=t+$\frac{16}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{16}{t}}$=8，當(dāng)且僅當(dāng)t=4即x=2±$\sqrt{3}$時取等號．
∴當(dāng)x=2±$\sqrt{3}$時，x+$\frac{1}{x}$+$\frac{16x}{x^2+1}$取得最小值8．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_2}（x+1），x＞1}\\{x-1，x≤1}\end{array}}$，若關(guān)于x的方程f[f（x）]=a有解，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]∪（1，+∞）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．已知等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，公差為2，且a1，a2，a4依次構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式與Sn
（2）數(shù)列{bn}滿足bn=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點．且BF⊥平面ACE．
（1）求證：平面ADE⊥平面BCE；
（2）求二面角E-AC-B的大��；
（3）設(shè)M在線段AB上，且滿足AM=2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

14．若tan（α+β）=$\frac{2}{5}$，tan（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$，則$\frac{1}{tan（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{3}{22}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

4．已知sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$，α是第二象限角，則sin（2α+$\frac{5π}{6}$）=$\frac{4\sqrt{2}-7\sqrt{3}}{18}$或-$\frac{7\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{18}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．解不等式：
（1）$\sqrt{4x-3}$＞1
（2）$\sqrt{4-x}$＞a
（3）$\sqrt{4x-3}$-$\sqrt{x-3}$＞0
（4）3x-4＞$\sqrt{x-3}$
（5）$\sqrt{5-x}$＞x-3
（6）$\sqrt{5-4x{-x}^{2}}$≥x
（7）$\sqrt{3x+1}$＞$\sqrt{2x-1}$-1
（8）（x-3）（x+1）（x+2）≤0
（9）x（x-$\sqrt{3}$）（x+1）（x+2）≤0．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M（x，y）的坐標(biāo)滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≥1}\\{y≤2x-1}\\{x+y≤m}\end{array}\right.$，已知N（1，-1），且$\overrightarrow{ON}•\overrightarrow{OM}$的最小值為-1，則實數(shù)m=5．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

16．橢圓$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的焦距為（　�。�
A．2B．3C．2$\sqrt{2}$D．4

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案