Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又BO=2，PO=

2

，PB⊥PD．
（1）求異面直接PD與BC所成角的余弦值；
（2）求二面角P-AB-C的大��；
（3）設(shè)點M在棱PC上，且

PM

PC

=λ，問λ為何值時，PC⊥平面BMD．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得到PO⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質(zhì)得到PO⊥BD，過D做DE∥BC交于AB于E，連接PE，則∠PDE或其補(bǔ)角為異面直線PD與BC所成的角，利用平面幾何的知識解答；
（2）連接OE，由（1）以及三垂線定理可知，∠PEO為二面角P-AB-C的平面角，然后求值；
（3）連接MD，MB，MO，利用PC⊥平面BMD，得到PC⊥OM，Rt△POC中求的PM=

2 3

3

，MC=

3

3

．

解答： 解：（1）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD
又PB⊥PD，BO=2，PO=

2

，
由平面幾何知識得：OD=1，PD=

3

，PB=

6

過D做DE∥BC交于AB于E，連接PE，則∠PDE或其補(bǔ)角為異面直線PD與BC所成的角，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴OC=OD=1，OB=OA=2，OA⊥OB
∴BC=

5

，AB=2

2

，CD=

2

又AB∥DC
∴四邊形EBCD是平行四邊形．
∴ED=BC=

5

，BE=CD=

2

∴E是AB的中點，且AE=

2

又PA=PB=

6

，
∴△PEA為直角三角形，
∴PE=

PA2-AE2

=

6-2

=2
在△PED中，由余弦定理得cos∠PDE=

PD2+DE2-PE2

2PD•DE

=

3+5-4

2• 3 • 5

=

2 15

15

故異面直線PD與BC所成的角的余弦值為

2 15

15

；
（2）連接OE，由（1）以及三垂線定理可知，∠PEO為二面角P-AB-C的平面角，
∴sin∠PE0=

PO

PE

=

2

2

，∴∠PEO=45°，∴二面角P-AB-C的平面角的大小為45°；
（3）連接MD，MB，MO，
∵PC⊥平面BMD，OM?平面BMD，
∴PC⊥OM，
在Rt△POC中，PC=PD=

3

，OC=1，PO=

2

，
∴PM=

2 3

3

，MC=

3

3

，
∴

PM

MC

=2，
故λ=2時，PC⊥平面BMD．

點評：本題考查了異面直線所成的角及二面角的平面角的求法；關(guān)鍵是將空間角轉(zhuǎn)化為平面角解答．