Question

9．已知，$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中$\overrightarrow a$=（2，1）．
（1）若|$\overrightarrow c$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow c$∥$\overrightarrow a$，求$\overrightarrow c$的坐標(biāo)；
（2）若|$\overrightarrow b$|=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，且$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$與2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$垂直，求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ．

Answer 1

分析 （1）$設(shè)\overrightarrow c=（{x，y}）$，根據(jù)向量的平行和向量的模得到關(guān)于x，y的方程組，解得即可，
（2）根據(jù)向量的垂直和向量的夾角公式，即可求出．

解答 解：（1）$設(shè)\overrightarrow c=（{x，y}）$，
∵$|{\overrightarrow c}|=2\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{{x^2}+{y^2}}=2\sqrt{5}$，
∴x²+y²=20．
∵$\overrightarrow c∥\overrightarrow a，而\overrightarrow a=（2，1）$，
∴x-2y=0，
∴x=2y，
$由\left\{\begin{array}{l}x=2y\\{x^2}+{y^2}=20\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=-2\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=2\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{c}$=（-4，-2）或，$\overrightarrow{c}$=（4，2）
（2）∵$（{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}）⊥（{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}）$，
∴$（{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}）•（{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}）=0，即2{\overrightarrow a^2}+3\overrightarrow a•\overrightarrow b-2{\overrightarrow b^2}=0$，
∴$2{|{\overrightarrow a}|^2}+3\overrightarrow a•\overrightarrow b-2{|{\overrightarrow b}|^2}=0（*）$，
$將|\overrightarrow a|=\sqrt{5}，|\overrightarrow b|=\frac{{\sqrt{5}}}{2}代入（*）式得2×5+3\overrightarrow a•\overrightarrow b-2×\frac{5}{4}=0⇒\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{5}{2}$，
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|}=-1，又∵θ∈[{0，π}]$，
∴θ=π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積判斷兩個(gè)平面垂直的條件的靈活運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．