Question

14．在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=CD=1，AC=$\sqrt{3}$，AD=DE=2．
（Ⅰ）在線段CE上取一點(diǎn)F，作BF∥平面ACD（只需指出F的位置，不需證明）；
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的點(diǎn)F，求直線BF與平面ADEB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理即可確定F的位置
（Ⅱ）建立坐標(biāo)系求出平面的法向量，利用直線和平面所成角的定義進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（Ⅰ）取線段CE的中點(diǎn)F，連接BF，則BF∥平面ACD；
（Ⅱ）∵AB=CD=1，AC=$\sqrt{3}$，AD=DE=2
∴AD²=AC²+CD²，∴∠ACD=90°，
∴AC⊥CD，
建立以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD，CA，分別為x，y軸，過C⊥平面ACD的直線為z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則A（0，$\sqrt{3}$，0），D（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，1），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，0，1），
則$\overrightarrow{AD}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AB}$=（0，0，1），$\overrightarrow{BF}$=（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{3}$，0），
設(shè)平面ADEB的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}y}\\{z=0}\end{array}\right.$，
設(shè)y=1，則x=$\sqrt{3}$，
即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{BF}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}}{|\overrightarrow{M}||\overrightarrow{BF}|}$|=$\frac{\sqrt{39}}{26}$，
即直線BF與平面ADEB所成角的正弦值sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{BF}$＞|=$\frac{\sqrt{39}}{26}$．

點(diǎn)評 本題主要考查線面平行的判斷以及直線和平面所成角的求解，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及建立坐標(biāo)系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．