Question

2．正四棱錐S-ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SB的中點(diǎn)，且SO=OD，則直線BC與AP所成的角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{33}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出直線BC與AP所成的角的余弦值．

解答 如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a，
則A（a，0，0），B（0，a，0），S（0，0，a），
C（-a，0，0），P（0，$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$）．
則$\overrightarrow{BC}$=（-a，-a，0），$\overrightarrow{AP}$=（-a，$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），
C=（a，a，0）．
設(shè)直線BC與AP所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}}{\sqrt{2}a•\sqrt{\frac{3}{2}}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴直線BC與AP所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．