【題目】已知函數(shù),曲線在點處的切線與直線垂直(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
(I)求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間;
(II)是否存在常數(shù),使得對于定義域內(nèi)的任意恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為和(2)
【解析】試題分析:
(1)由題意可得,對函數(shù)求導(dǎo)可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和
(2)不等式等價于
①當(dāng)時,令,由函數(shù)的性質(zhì)可得;
②當(dāng)時,可得,
綜合①②可得: .
試題解析:
(I),
又由題意有: ,
故
此時, ,
由或,
函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和
(說明:減區(qū)間寫為的扣分).
(II)要恒成立,
即
①當(dāng)時, ,則要: 恒成立,
令,
再令,
在內(nèi)遞減,
當(dāng)時, ,
故,
在內(nèi)遞增, ;
②當(dāng)時, ,則要: 恒成立,
由①可知,當(dāng)時, ,
在內(nèi)遞增,
當(dāng)時, ,故,
在內(nèi)遞增, ,
綜合①②可得: ,
即存在常數(shù)滿足題意.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,氣象部門預(yù)報,在海面上生成了一股較強臺風(fēng),在據(jù)臺風(fēng)中心60千米的圓形區(qū)域內(nèi)將受到嚴(yán)重破壞,臺風(fēng)中心這個從海岸M點登陸,并以72千米/小時的速度沿北偏西60°的方向移動,已知M點位于A城的南偏東15°方向,距A城 千米;M點位于B城的正東方向,距B城 千米,假設(shè)臺風(fēng)在移動的過程中,其風(fēng)力和方向保持不變,請回答下列問題:
(1)A城和B城是否會受到此次臺風(fēng)的侵襲?并說明理由;
(2)若受到此次臺風(fēng)的侵襲,改城受到臺風(fēng)侵襲的持續(xù)時間有多少小時?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形, , , 垂直于底面, , , 分別為, 的中點.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求四棱錐的體積和截面的面積.
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【題目】已知△ABC的三個頂點分別為A(2,3),B(1,﹣2),C(﹣3,4),求
(1)BC邊上的中線AD所在的直線方程;
(2)△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知兩點和,動點M滿足,設(shè)點M的軌跡為C,半拋物線:(),設(shè)點.
(Ⅰ)求C的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)點T是曲線上一點,曲線在點T處的切線與曲線C相交于點A和點B,求△ABD的面積的最大值及點T的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一兒童游樂場擬建造一個“蛋筒”型游樂設(shè)施,其軸截面如圖中實線所示. 是等腰梯形, 米, (在的延長線上, 為銳角). 圓與都相切,且其半徑長為米. 是垂直于的一個立柱,則當(dāng)的值設(shè)計為多少時,立柱最矮?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)
(1)若,求在區(qū)間[0,3]上的最大值;
(2)若,寫出的單調(diào)區(qū)間;
(3)若存在,使得方程有三個不相等的實數(shù)解,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓臺的上、下底面半徑分別是2、6,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和.
(1)求該圓臺母線的長;
(2)求該圓臺的體積.
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