Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，M、N分別為PC、PB的中點．PA=AB．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：PB⊥DM．

Answer 1

分析 （1）欲證MN∥平面PAD，根據(jù)線面平行的判定定理知，只須證明MN∥AD，結(jié)合中點條件即可證明得；
（2）欲證PB⊥DM，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，只須證明PB⊥平面ADMN，也就是要證明AN⊥PB及AD⊥PA，而這此垂直關(guān)系的證明較為明顯，從而即可證得結(jié)論．

解答 證明：（1）因為M、N分別為PC、PB的中點，
所以MN∥BC，且MN=$\frac{1}{2}$BC．（1分）
又因為AD∥BC，所以MN∥AD．（2分）
又AD⊥平面PAD，MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD．（4分）
（2）因為AN為等腰DABP底邊PB上的中線，所以AN⊥PB．（5分）
因為PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以AD⊥PA．
又因為AD⊥AB，且AB∩AP=A，所以AD⊥平面PAB．
又PB?平面PAB，所以AD⊥PB．（6分）
因為AN⊥PB，AD⊥PB，且AN∩AD=A，所以PB⊥平面ADMN．（7分）
又DM?平面ADMN，所以PB⊥DM．（8分）

點評 本小題主要考查直線與平面平行的判定、直線與平面垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查空間想象力．屬于基礎(chǔ)題．