【題目】已知函數(shù),其中無理數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)有兩個極值點,求的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)的極值點有三個,最小的記為,最大的記為,若的最大值為,求的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】分析:(Ⅰ)先對函數(shù)求導(dǎo),構(gòu)造,則函數(shù)有兩個極值點等價于 有兩個不等的正實根,對函數(shù)求導(dǎo),然后對和進行討論,可得函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合,即可求得的取值范圍;(Ⅱ)對函數(shù)求導(dǎo),由有三個極值點,則有三個零點,1為一個零點,其他兩個則為的零點,結(jié)合(Ⅰ),可得的兩個零點即為的最小和最大極值點,,即,令,由題知,則,令,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而可求得的最小值即的最小值.
詳解:(Ⅰ),
令,,
∵有兩個極值點
∴ 有兩個不等的正實根
∵
∴當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,不符合題意.
當(dāng)時,當(dāng)時,,當(dāng)時,,
∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
又∵,當(dāng)→時,→
∴
∴
綜上,的取值范圍是.
(Ⅱ).
∵有三個極值點
∴有三個零點,1為一個零點,其他兩個則為的零點,由(Ⅰ)知.
∵
∴的兩個零點即為的最小和最大極值點,,即.
∴
令,由題知.
∴,,
∴
令,,則,令,則.
∴在上單調(diào)遞增
∴
∴在上單調(diào)遞減
∴
故的最小值為.
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【題目】如圖,空間幾何體由兩部分構(gòu)成,上部是一個底面半徑為1,高為2的圓錐,下部是一個底面半徑為1,高為2的圓柱,圓錐和圓柱的軸在同一直線上,圓錐的下底面與圓柱的上底面重合,點是圓錐的頂點,是圓柱下底面的一條直徑,、是圓柱的兩條母線,是弧的中點.
(1)求異面直線與所成的角的大;
(2)求點到平面的距離.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的零點的個數(shù);
(2)當(dāng)函數(shù)有兩個零點時,證明:.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(2)令是函數(shù)圖象上任意兩點,且滿足求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,使成立,求實數(shù)的最大值.
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【題目】設(shè)函數(shù)(為常數(shù)).
(1)當(dāng)時,求曲線在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在內(nèi)存在唯一極值點,求實數(shù)的取值范圍,并判斷是在內(nèi)的極大值點還是極小值點.
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【題目】已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)的零點個數(shù).
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【題目】將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度,再將圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到的圖像.
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若對于任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若對任意的,都有恒成立,求的最小值;
(2)設(shè),若為曲線上的兩個不同的點,滿足,且,使得曲線在點處的切線與直線平行,求證:.
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