Question

7．設(shè)△ABC的內(nèi)角∠A，∠B，∠C所對的邊長為a，b，c，且ab+ac=bc，則sinA的最大值為$\frac{\sqrt{15}}{8}$．

Answer 1

分析 由ab+ac=bc，可得a=$\frac{bc}{b+c}$≤$\frac{1}{2}$$\sqrt{bc}$，利用余弦定理及基本不等式，可求得cosA≥$\frac{7}{8}$，從而可得sinA的最大值．

解答 解：∵ab+ac=bc，
∴a=$\frac{bc}{b+c}$≤$\frac{1}{2}$$\sqrt{bc}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號．
兩邊平方可得：${a}^{2}≤\frac{1}{4}$bc，
由余弦定理可得：b²+c²-2bccosA≤$\frac{1}{4}bc$，
∴2bc-2bccosA$≤\frac{1}{4}$bc，
化為cosA≥$\frac{7}{8}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$≤$\sqrt{1-（\frac{7}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{15}}{8}$，

點評 本題考查了余弦定理、基本不等式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．