Question

10．已知數(shù)列{a_n}中，若m項依次構(gòu)成首項為1，公差為-2的等差數(shù)列，第m+1項至第2m項依次構(gòu)成首項為1，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列．其中m≥3，m∈N^*．
（1）當1≤n≤2m時，求a_n；
（2）若對任意的n∈N^*，都有a_n+2m=a_n，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證：S_4m+3≤-$\frac{11}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）由于對任意的n∈N^*，都有a_n+2m=a_n，可得數(shù)列{a_n}是周期函數(shù)，周期為2m，因此S_4m+3=S_4m+a_4m+1+a_4m+2+a_4m+3=2[（a₁+a₂+…+a_m）+（a_m+1+a_m+2+…+a_2m）]+a₁+a₂+a₃，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （1）解：由題意可得：當1≤n≤m時，a_n=1-2（n-1）=3-2n；
當m+1≤n≤2m時，${a}_{n}=1×（\frac{1}{2}）^{n-（m+1）}$=$（\frac{1}{2}）^{n-m-1}$；
（2）證明：∵對任意的n∈N^*，都有a_n+2m=a_n，
∴數(shù)列{a_n}是周期函數(shù)，周期為2m，
∴S_4m+3=S_4m+a_4m+1+a_4m+2+a_4m+3
=2[（a₁+a₂+…+a_m）+（a_m+1+a_m+2+…+a_2m）]+a₁+a₂+a₃
=$2[\frac{m（1+3-2m）}{2}+\frac{1-（\frac{1}{2}）^{m}}{1-\frac{1}{2}}]$+1-1-3
=4m-2m²+1-$\frac{4}{{2}^{m}}$，
令f（m）=4m-2m²+1-$\frac{4}{{2}^{m}}$，（m≥3，m∈N^*）．
f（m）=-2（m-1）²-$\frac{4}{{2}^{m}}$+3為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴S_4m+3≤f（3）=$3-2×{2}^{2}-\frac{1}{2}$=-$\frac{11}{2}$．
∴S_4m+3≤-$\frac{11}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、數(shù)列的周期性、分組求和方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．