Question

2．已知函數(shù)y=f（x）（x∈（-∞，-2）∪（2，+∞）），在其圖象上任取一點P（x，y）都滿足方程x²-4y²=4．
①函數(shù)y=f（x）一定具有奇偶性；
②函數(shù)y=f（x）在（-∞，-2）是單調(diào)函數(shù)；
③?x₀∈（-∞，-2）∪（2，+∞），使x＜2f（x）；
④?x∈（-∞，-2）∪（2，+∞），使|x|＞2f（x）；
以上說法正確的序號是③④．

Answer 1

分析 根據(jù)條件作出滿足條件的函數(shù)圖象，同時作出漸近線方程y=±$\frac{1}{2}$x，通過圖象觀察可得函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷①，②；再由雙曲線的性質(zhì)和圖象，即可判斷③，④．

解答 解：滿足方程x²-4y²=4的函數(shù)圖象為雙曲線的一部分，
如圖，函數(shù)y=f（x）對應(yīng)的圖象為2，4象限部分的圖象，
或1，3象限的圖象，可能不關(guān)于原點對稱或y軸對稱，
則①不正確；
對于②，由圖象可得函數(shù)y=f（x）在（-∞，-2）
可能是減函數(shù)或增函數(shù)，不單調(diào)，則②不正確；
對于③，由圖可知③正確；
對于④，由于圖象上任一點P（x，y）滿足方程x²-4y²=4，
則?x∈（-∞，-2）∪（2，+∞），由圖象可得|x|＞2f（x），則④正確．
故答案為：③④．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，圖象和漸近線的關(guān)系，利用雙曲線的圖象是解決本題的關(guān)鍵．