Question

12．已知直線y=$\sqrt{11}$x與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點，若橢圓上存在點P，使得△ABP是等邊三角形，則橢圓C的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 聯(lián)立直線y=$\sqrt{11}$x和橢圓方程，求得A，B的坐標(biāo)，以及|OA|²，將直線OP方程為$x=-\sqrt{11}y$，代入橢圓方程，求得P的坐標(biāo)及|OP|²，再由|OP|²=3|OA|²，結(jié)合離心率公式，可得e．

解答 解：因為$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{11}x\\{b^2}{x^2}+{a^2}{y^2}={a^2}{b^2}\end{array}\right.⇒{x^2}=\frac{{{a^2}{b^2}}}{{11{a^2}+{b^2}}}，{y^2}=\frac{{11{a^2}{b^2}}}{{11{a^2}+{b^2}}}$，
所以${|{OA}|^2}=\frac{{12{a^2}{b^2}}}{{11{a^2}+{b^2}}}$；
由題設(shè)直線OP方程為$x=-\sqrt{11}y$，
所以$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{11}y\\{b^2}{x^2}+{a^2}{y^2}={a^2}{b^2}\end{array}\right.⇒{y^2}=\frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2}+11{b^2}}}，{x^2}=\frac{{11{a^2}{b^2}}}{{{a^2}+11{b^2}}}$，
所以${|{OP}|^2}=\frac{{12{a^2}{b^2}}}{{{a^2}+11{b^2}}}$，
所以$\frac{{{{|{OP}|}^2}}}{{{{|{OA}|}^2}}}=\frac{{11{a^2}+{b^2}}}{{{a^2}+11{b^2}}}=3⇒\frac{{12-{e^2}}}{{12-11{e^2}}}=3⇒e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用橢圓的對稱性和等邊三角形的性質(zhì)，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．