Question

2．已知F是拋物線x²=4y的焦點(diǎn)，P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且A的坐標(biāo)為（0，-1），則$\frac{|PF|}{|PA|}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|，則$\frac{|PF|}{|PA|}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM，∠PAM為銳角．故當(dāng)PA和拋物線相切時(shí)，$\frac{|PF|}{|PA|}$最小．再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得$\frac{|PF|}{|PA|}$的最小值．

解答 解：由題意可得，拋物線x²=4y的焦點(diǎn)F（0，1），
準(zhǔn)線方程為y=-1．
過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，
則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|，
則$\frac{|PF|}{|PA|}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM，∠PAM為銳角．
故當(dāng)∠PAM最小時(shí)，$\frac{|PF|}{|PA|}$最小，
故當(dāng)PA和拋物線相切時(shí)，$\frac{|PF|}{|PA|}$最�。�
設(shè)切點(diǎn)P（2$\sqrt{a}$，a），由y=$\frac{1}{4}$x²的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{2}$x，
則PA的斜率為$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{a}$=$\sqrt{a}$=$\frac{a+1}{2\sqrt{a}}$，
求得a=1，可得P（2，1），
∴|PM|=2，|PA|=2$\sqrt{2}$，
∴sin∠PAM=$\frac{|PM|}{|PA|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．