Question

2．已知F是拋物線x²=4y的焦點，P為拋物線上的動點，且A的坐標為（0，-1），則$\frac{|PF|}{|PA|}$的最小值是（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 過點P作PM垂直于準線，M為垂足，則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|，則$\frac{|PF|}{|PA|}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM，∠PAM為銳角．故當PA和拋物線相切時，$\frac{|PF|}{|PA|}$最�。�再利用直線的斜率公式、導數(shù)的幾何意義求得切點的坐標，從而求得$\frac{|PF|}{|PA|}$的最小值．

解答 解：由題意可得，拋物線x²=4y的焦點F（0，1），
準線方程為y=-1．
過點P作PM垂直于準線，M為垂足，
則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|，
則$\frac{|PF|}{|PA|}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM，∠PAM為銳角．
故當∠PAM最小時，$\frac{|PF|}{|PA|}$最小，
故當PA和拋物線相切時，$\frac{|PF|}{|PA|}$最小．
設切點P（2$\sqrt{a}$，a），由y=$\frac{1}{4}$x²的導數(shù)為y′=$\frac{1}{2}$x，
則PA的斜率為$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{a}$=$\sqrt{a}$=$\frac{a+1}{2\sqrt{a}}$，
求得a=1，可得P（2，1），
∴|PM|=2，|PA|=2$\sqrt{2}$，
∴sin∠PAM=$\frac{|PM|}{|PA|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：C．

點評 本題主要考查拋物線的定義、性質的簡單應用，直線的斜率公式、導數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．