Question

18．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E點在棱DD₁上．
（1）當E是DD₁的中點時，求異面直線AE與BD₁所成角的余弦；
（2）當二面角E-AC-B₁的平面角θ滿足cosθ=$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$時，求DE的長．

Answer 1

分析 以$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{D{D_1}}$為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz．
（1）當E點為DD₁中點時，通過數(shù)量積運算計算$\overrightarrow{AE}=（-1，0，\frac{1}{2}）$與$\overrightarrow{BD}=（-1，-1，1）$的夾角的余弦值即可；
（2）取AC中點M，則∠B₁ME是二面角B₁-AC-E的平面角，通過求解$\frac{\overrightarrow{M{B}_{1}}•\overrightarrow{ME}}{|\overrightarrow{M{B}_{1}}||\overrightarrow{ME}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$即可．

解答 解：以$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{D{D_1}}$為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，
設DE=t，則A（1，0，0），B（1，1，0），E（0，0，t），D（0，0，1）．
（1）當E點為DD₁中點時，$t=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AE}=（-1，0，\frac{1}{2}）$，
$\overrightarrow{BD}=（-1，-1，1）$，$|{\overrightarrow{AE}}|=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，$|{\overrightarrow{BD}}|=\sqrt{3}$，
所以$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BD}＞=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，
所以異面直線AE與BD₁所成角余弦為$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$；
（2）取AC中點M，由題意知EM⊥AC，B₁M⊥AC，
所以∠B₁ME是二面角B₁-AC-E的平面角，
因為$\overrightarrow{M{B_1}}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1）$，$\overrightarrow{ME}=（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，t）$，
$|{\overrightarrow{M{B_1}}}|=\sqrt{\frac{3}{2}}$，$|{\overrightarrow{ME}}|=\sqrt{\frac{1}{2}+{t^2}}$，
所以cosθ=$\frac{{-\frac{1}{2}+t}}{{\sqrt{\frac{3}{2}}\sqrt{\frac{{1+2{t^2}}}{2}}}}=\frac{1}{{\sqrt{6}}}$，
兩邊平方整理得6t²-8t+1=0，所以$t=\frac{{4±\sqrt{10}}}{6}$．
因為E在棱DD₁上，0≤t≤1，所以$t=\frac{{4-\sqrt{10}}}{6}$，
所以DE的長為$\frac{{4-\sqrt{10}}}{6}$．

點評 本題考查直線與直線夾角、二面角的大小的求法，解題時要認真審題，屬于中檔題．