Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-ax²-4x（a是實(shí)數(shù)）
（1）若在x=-1時(shí)取得極值，求a
（2）是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減，若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（-1）=0，解方程即可得到a；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減．即有f′（x）=3x²-2ax-4≤0在[-2，2]上恒成立，
令g（x）=3x²-2ax-4，即有g(shù)（-2）≤0，且g（2）≤0，解不等式組即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³-ax²-4x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-2ax-4，
在x=-1時(shí)取得極值，可得f′（-1）=0，
即有3+2a-4=0，解得a=$\frac{1}{2}$；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減．
即有f′（x）=3x²-2ax-4≤0在[-2，2]上恒成立，
令g（x）=3x²-2ax-4，即有g(shù)（-2）≤0，且g（2）≤0，
即有8+4a≤0且8-4a≤0，解得-2≤a≤2．
故存在，a的取值范圍為[-2，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查計(jì)算能力和分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題．