Question

16．師大附中高一研究性學(xué)習(xí)小組，在某一高速公路服務(wù)區(qū)，從小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后，以每間隔10輛就抽取一輛的抽樣方法抽取20名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟�路的車速（km/h）分成六段：[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]統(tǒng)計(jì)后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）此研究性學(xué)習(xí)小組在采集中，用到的是什么抽樣方法？并求這20輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值；
（2）若從車速在[80，90）的車輛中做任意抽取3輛，求車速在[80，85）和[85，90）內(nèi)都有車輛的概率；
（3）若從車速在[90，100）的車輛中任意抽取3輛，求車速在[90，95）的車輛數(shù)的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)抽樣方法的特征，得出是系統(tǒng)抽樣方法，根據(jù)頻率分布直方圖，求出樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值；
（2）求出車速在[80，90）的車輛中任意抽取3輛車，車速在[80，85）內(nèi)的有2輛，在[85，90）內(nèi)的有1輛的概率，車速在[80，85）內(nèi)的有1輛，在[85，90）內(nèi)的有2輛的概率，概率相加即得結(jié)果；
（3）從車速在[70，80）的車輛中任意抽取3輛，車速在[75，80）的車輛數(shù)為X，求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）此研究性學(xué)習(xí)小組在采樣中，用到的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣．
這40輛小型汽車車速眾數(shù)的估計(jì)值為87.5，中位數(shù)的估計(jì)值為87.5�。�3分）
（2）車速在[80，90）的車輛共有（0.2+0.3）×20=10輛，
車速在[80，85），[85，90）內(nèi)的車輛分別有4輛和6輛；
記從車速在[80，90）的車輛中任意抽取3輛車，車速在[80，85）內(nèi)的有2輛，在[85，90）內(nèi)的有1輛為事件A，車速在[80，85）內(nèi)的有1輛，在[85，90）內(nèi)的有2輛為事件B，
則$P（A）+P（B）═\frac{C_4^2C_6^1}{{C_{10}^3}}+\frac{C_4^1C_6^2}{{C_{10}^3}}=\frac{4}{5}$．�。�7分）
（3）車速在[90，100）的車輛共有7輛，車速在[90，95）和[95，100）的車輛分別有5輛和2輛，若從車速在[90，100）的車輛中任意抽取3輛，設(shè)車速在[90，95）的車輛數(shù)為X，則X的可能取值為1、2、3.$P（x=1）=\frac{C_5^1C_2^2}{C_7^3}=\frac{1}{7}，P（x=2）=\frac{C_5^2C_2^1}{C_7^3}=\frac{4}{7}$，$P（x=3）=\frac{C_5^2C_2^0}{C_7^3}=\frac{2}{7}$．
故分布列為

X	1	2	3
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{2}{7}$

∴車速在[90，95）的車輛數(shù)的數(shù)學(xué)期望為$E（X）=1×\frac{1}{7}+2×\frac{4}{7}+3×\frac{2}{7}$=$\frac{15}{7}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列的應(yīng)用問題，是中檔題．