Question

7．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若$A{B_1}=\sqrt{3}B{B_1}$，則$＜\overrightarrow{A{B_1}}，\overrightarrow{B{C_1}}＞$=（　�。�

• A． 45°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 ：以A為原點，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出$＜\overrightarrow{A{B_1}}，\overrightarrow{B{C_1}}＞$．

解答 解：以A為原點，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)$A{B_1}=\sqrt{3}B{B_1}$=$\sqrt{3}$，
則A（0，0，0），B（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），B₁（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），C₁（0，$\sqrt{2}$，1），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
∴cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=0，
∴$＜\overrightarrow{A{B_1}}，\overrightarrow{B{C_1}}＞$=90°．
故選：C．

點評 本題考查空間角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．