Question

15．設(shè)f（n）=（$\frac{1+i}{1-i}$）ⁿ+（$\frac{1-i}{1+i}$）ⁿ（n∈N^*），則集合{x|x=f（n）}的子集有（　　）

• A． 2個(gè)
• B． 4個(gè)
• C． 8個(gè)
• D． 無(wú)窮多個(gè)

Answer 1

分析 由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)$\frac{1+i}{1-i}$和$\frac{1-i}{1+i}$，得到f（n）=iⁿ+（-i）ⁿ，分四種情況分別求出f（n）的值，則答案可求．

解答 解：∵$\frac{1+i}{1-i}=\frac{（1+i）^{2}}{（1-i）（1+i）}=\frac{2i}{2}=i$，
∴$\frac{1-i}{1+i}=\frac{1}{i}=-i$．
根據(jù)虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，有f（n）=（$\frac{1+i}{1-i}$）ⁿ+（$\frac{1-i}{1+i}$）ⁿ=iⁿ+（-i）ⁿ=$\left\{\begin{array}{l}{2（n=4k，k∈Z）}\\{0（n=4k+1，k∈Z）}\\{-2（n=4k+2，k∈Z）}\\{0（n=4k+3，k∈Z）}\end{array}\right.$，
故f（n）有3個(gè)不同的值．
∴集合{x|x=f（n）}的子集有2³=8個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查了虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想方法，是基礎(chǔ)題．