Question

5．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AB，點E是PD的中點，作EF⊥PC交PC于F．
（Ⅰ）求證：PC⊥平面AEF；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的大�。�

Answer 1

分析 （I）利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理可得：PA⊥CD，得到CD⊥平面PAD，得到CD⊥AE，可得AE⊥平面PCD，可得AE⊥PC，即可證明PC⊥平面AEF；
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，點A為坐標(biāo)原點，設(shè)AB=1，利用線面垂直的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系得出兩個平面的法向量，求出其夾角即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵CD⊥AD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AE?平面PAD，
∴CD⊥AE，
∵E是PD的中點，PA=AD，
∴AE⊥PD，
∵PD∩CD=D，
∴AE⊥平面PCD，
而PC?平面PCD，
∴AE⊥PC，
又EF⊥PC，AE∩EF=E，
∴PC⊥平面AEF．
（Ⅱ）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，點A為坐標(biāo)原點，設(shè)AB=1，
則$\overrightarrow{AP}=（0，0，1），\overrightarrow{AC}=（1，1，0），\overrightarrow{DC}=（0，1，0），\overrightarrow{PD}=（1，0，0）-（0，0，1）=（1，0，-1）$，
設(shè)平面APC的法向量是$\overrightarrow m=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow m=0，\overrightarrow{AC}•\overrightarrow m=0$，
∴z₁=0，x₁+y₁=0，即$\overrightarrow m=（1，-1，0）$，
設(shè)平面DPC的法向量是$\overrightarrow n=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，則$\overrightarrow{DC}•\overrightarrow n=0，\overrightarrow{PD}•\overrightarrow n=0$，
所以y₂=0，x₂-z₂=0，即$\overrightarrow n=（1，0，1）$．
$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{1}{{\sqrt{2}•\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}$，即面角A-PC-D的大小為60°．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理，考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用線面垂直的性質(zhì)定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系及平面的法向量的夾角求出二面角的方法，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．