Question

6．在曲線y=x²（x≥0）上某一點A處作一條切線使之與曲線以及x軸圍成的面積為$\frac{1}{12}$，則以A為切點的切線方程為
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• A． y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2}$
• B． y=2x-1
• C． y=2x+1
• D． y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求切點A的坐標及過切點A的切線方程，先求切點A的坐標，設(shè)點A的坐標為（a，a²），只須在切點處的切線方程，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率從而得到切線的方程進而求得面積的表達式．最后建立關(guān)于a的方程解之即得．最后求出其斜率的值即可，即導(dǎo)數(shù)值即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答 解：如圖所示，設(shè)切點A（x₀，y₀），
由y′=2x，得過點A的切線方程為：
y-y₀=2x₀（x-x₀），即y=2x₀x-x₀²．
令y=0，得x=$\frac{{x}_{0}}{2}$，即C（$\frac{{x}_{0}}{2}$，0）．
設(shè)由曲線和過A點的切線及x軸所圍成圖形的面積為S．
S_{曲邊三角形AOB}=${∫}_{0}^{{x}_{0}}$x²dx=$\frac{1}{3}$x³|${\;}_{0}^{{x}_{0}}$=${{x}_{0}}^{3}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$|BC|•|AB|=$\frac{1}{2}$（x₀-$\frac{{x}_{0}}{2}$）•x₀²=$\frac{1}{4}$${{x}_{0}}^{3}$．
∴S=$\frac{1}{3}$${{x}_{0}}^{3}$-${{\frac{1}{4}x}_{0}3}^{\;}$=$\frac{1}{12}$${{x}_{0}}^{3}$．
由$\frac{1}{12}{{x}_{0}}^{3}$=$\frac{1}{12}$得x₀=1，
從而切點A的坐標為（1，1），
切線方程為y=2x-1．
故選B．

點評 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及定積分的簡單應(yīng)用，在用定積分求面積時注意被積函數(shù)的確定．