Question

7．若圓${C_1}：{x^2}+{y^2}+ax=0$與圓${C_2}：{x^2}+{y^2}+2ax+ytanθ=0$都關(guān)于直線(xiàn)2x-y-1=0對(duì)稱(chēng)，則sinθcosθ=-$\frac{2}{5}$，．

Answer 1

分析 求出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，得到圓心在直線(xiàn)上，得到tanθ=-2，利用1的代換進(jìn)行求解即可．

解答 解：圓C₁：x²+y²+ax=0的圓心坐標(biāo)為（-$\frac{a}{2}$，0），圓C₂：x²+y²+2ax+ytanθ=0的圓心坐標(biāo)為（-a，-$\frac{tanθ}{2}$），
∵兩圓都關(guān)于直線(xiàn)2x-y-1=0對(duì)稱(chēng)，
∴圓心都在方程為2x-y-1=0的直線(xiàn)上，
則-$\frac{a}{2}$×2-1=0，得a=-1，
-2a+$\frac{tanθ}{2}$-1=0，即2+$\frac{tanθ}{2}$-1=0則$\frac{tanθ}{2}$=-1，即tanθ=-2，
則sinθcosθ=$\frac{sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{tanθ}{1+ta{n}^{2}θ}$=-$\frac{2}{5}$，
故答案為-$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)和計(jì)算，根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，得到a，tanθ的值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．