Question

9．已知a，b（a≠b）都是正有理數(shù)，$\sqrt{a}，\sqrt$都是無(wú)理數(shù)．
（1）判斷$\sqrt{a}•\sqrt$是否可能是有理數(shù)，請(qǐng)舉例說(shuō)明；
（2）求證：$\sqrt{a}+\sqrt$不可能是有理數(shù)．

Answer 1

分析 （1）例如a=2，b=8，都是正有理數(shù)，$\sqrt{2}，\sqrt{8}=2\sqrt{2}$都是無(wú)理數(shù)，而$\sqrt{a}•\sqrt=\sqrt{2}•2\sqrt{2}=4$是有理數(shù)；
（2）利用反證法，即可證明．

解答 解：（1）$\sqrt{a}•\sqrt$是否可能是有理數(shù)，例如a=2，b=8，都是正有理數(shù)，$\sqrt{2}，\sqrt{8}=2\sqrt{2}$都是無(wú)理數(shù)，
而$\sqrt{a}•\sqrt=\sqrt{2}•2\sqrt{2}=4$是有理數(shù)
（2）假設(shè)$\sqrt{a}+\sqrt$是有理數(shù)，設(shè)$\sqrt{a}+\sqrt=x$，
則$\sqrt{a}=x-\sqrt$，兩邊平方得$a={x^2}-2\sqrtx+b$
∴$\sqrt=\frac{{{x^2}-a+b}}{2x}$，
上式左邊是無(wú)理數(shù)，右邊是有理數(shù)，矛盾．
∴$\sqrt{a}+\sqrt$不可能是有理數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了反證法，正確利用反證法的一般步驟求出是解題關(guān)鍵．