Question

已知f（x）=（2x-x²）e^x，給出以下四個結論：
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；
②f（-

2

）是極小值，f（

2

）是極大值；
③f（x）沒有最小值，也沒有最大值；
④f（x）有最大值，沒有最小值．
其中判斷正確的是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：令f（x）＞0可解x的范圍；對函數(shù)f（x）進行求導，然后令f'（x）=0求出x，在根據(jù)f'（x）的正負判斷原函數(shù)的單調性進而可確定②正確．根據(jù)函數(shù)的單調性可判斷極大值即是原函數(shù)的最大值，無最小值，③不正確，④正確．從而得到答案．

解答： 解：由f（x）＞0可得（2x-x²）e^x＞0
∵e^x＞0，∴2x-x²＞0，∴0＜x＜2，故①正確；
f′（x）=e^x（2-x²），由f′（x）=0得x=±

2

，
由f′（x）＜0得x＞

2

或x＜-

2

，由f′（x）＞0得-

2

＜x＜

2

，
∴f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，-

2

），（

2

，+∞）；單調增區(qū)間為（-

2

，

2

）．
∴f（x）的極大值為f（

2

），極小值為f（-

2

），故②正確．
∵x＜-

2

時，f（x）＜0恒成立．
∴f（x）無最小值，但有最大值f（

2

）
∴③不正確，④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題的考點是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，主要考查函數(shù)的極值與其導函數(shù)關系，即函數(shù)取到極值時導函數(shù)一定等于0，但導函數(shù)等于0時還要判斷原函數(shù)的單調性才能確定原函數(shù)的極值點．