分析 根據(jù)兩角和差的余弦公式先求出cos(α+β)的值,然后判斷角的范圍進行求解即可.
解答 解:∵α+β=2α-β-(α-2β),
∴cos(α+β)=cos[2α-β-(α-2β)]=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β),
∵0<β<$\frac{π}{4}$<α<$\frac{π}{2}$,
∴0<2β<$\frac{π}{2}$<2α<π,
0>-β>-$\frac{π}{4}$>-α>-$\frac{π}{2}$,
則$\frac{π}{4}$<2α-β<π,-$\frac{π}{4}$<α-2β<$\frac{π}{2}$,
∵cos(2α-β)=-$\frac{11}{14}$,∴sin(2α-β)=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$,
∵sin(α-2β)=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$,∴cos(α-2β)=$\frac{1}{7}$,
則cos(α+β)=cos[2α-β-(α-2β)]=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)
=-$\frac{11}{14}$×$\frac{1}{7}$+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{-11+60}{98}$=$\frac{49}{98}$=$\frac{1}{2}$,
∵0<β<$\frac{π}{4}$<α<$\frac{π}{2}$,
∴0<β<$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{4}$<α<$\frac{π}{2}$,
則$\frac{π}{4}$<α+β<$\frac{3π}{4}$,
∴α+β=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$,
∵cos(2α-β)=-$\frac{11}{14}$<0,∴$\frac{π}{2}$<2α-β<π,
∵sin(α-2β)=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$∈($\frac{\sqrt{3}}{2}$,1),∴$\frac{π}{3}$<α-2β<$\frac{π}{2}$
-$\frac{π}{2}$<2β-α<-$\frac{π}{3}$,
則0<α+β<$\frac{2π}{3}$.,
∴α+β=$\frac{π}{3}$,
故答案為:$\frac{π}{3}$
點評 本題主要考查三角函數(shù)的化簡和求解,利用拆角技巧,結合兩角和差的余弦公式進行求解是解決本題的關鍵.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | y=x+1 | B. | y=-$\frac{1}{x}$ | C. | y=-x|x| | D. | y=2x-2-x |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $(0,\frac{1}{2})$ | B. | $(\frac{1}{2},0)$ | C. | (0,1) | D. | (1,0) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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