Question

11．已知cos（2α-β）=-$\frac{11}{14}$，sin（α-2β）=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，0＜β＜$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，則α+β=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)兩角和差的余弦公式先求出cos（α+β）的值，然后判斷角的范圍進行求解即可．

解答 解：∵α+β=2α-β-（α-2β），
∴cos（α+β）=cos[2α-β-（α-2β）]=cos（2α-β）cos（α-2β）+sin（2α-β）sin（α-2β），
∵0＜β＜$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴0＜2β＜$\frac{π}{2}$＜2α＜π，
0＞-β＞-$\frac{π}{4}$＞-α＞-$\frac{π}{2}$，
則$\frac{π}{4}$＜2α-β＜π，-$\frac{π}{4}$＜α-2β＜$\frac{π}{2}$，
∵cos（2α-β）=-$\frac{11}{14}$，∴sin（2α-β）=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∵sin（α-2β）=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，∴cos（α-2β）=$\frac{1}{7}$，
則cos（α+β）=cos[2α-β-（α-2β）]=cos（2α-β）cos（α-2β）+sin（2α-β）sin（α-2β）
=-$\frac{11}{14}$×$\frac{1}{7}$+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{-11+60}{98}$=$\frac{49}{98}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜β＜$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴0＜β＜$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，
則$\frac{π}{4}$＜α+β＜$\frac{3π}{4}$，
∴α+β=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
∵cos（2α-β）=-$\frac{11}{14}$＜0，∴$\frac{π}{2}$＜2α-β＜π，
∵sin（α-2β）=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），∴$\frac{π}{3}$＜α-2β＜$\frac{π}{2}$
-$\frac{π}{2}$＜2β-α＜-$\frac{π}{3}$，
則0＜α+β＜$\frac{2π}{3}$．，
∴α+β=$\frac{π}{3}$，
故答案為：$\frac{π}{3}$

點評 本題主要考查三角函數(shù)的化簡和求解，利用拆角技巧，結合兩角和差的余弦公式進行求解是解決本題的關鍵．