Question

2．已知：命題p：?x∈R，x²+ax+1≥0，命題q：?x∈[-2，0]，x²-x+a=0，若命題p與命題q一真一假，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 對于命題p：?x∈R，x²+ax+2≥0，可得△≤0，解得a范圍．命題q：?x∈[-2，0]，x²-x+a=0，即a=x-x²，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出a的取值范圍．再利用命題p與命題q一真一假，即可得出．

解答 解：對于命題p：?x∈R，x²+ax+2≥0，∴△=a²-4≤0，解得-2≤a≤2．
命題q：?x∈[-2，0]，x²-x+a=0，即a=x-x²=$\frac{1}{4}$-$（x-\frac{1}{2}）^{2}$∈[-6，0]．
若命題p與命題q一真一假，則$\left\{\begin{array}{l}{-2≤a≤2}\\{a＜-6或a＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＜-2或a＞2}\\{-6≤a≤0}\end{array}\right.$，
解得-6≤a＜-2，或0＜a≤2．
∴實數(shù)a的取值范圍是[-6，-2）∪（0，2]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、復(fù)合命題真假的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．