Question

18．已知實數(shù)x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≤x}\\{2x+y+k≤0}\end{array}\right.$（k為常數(shù)），若$\frac{y-1}{x+1}$的取值范圍為[-1，$\frac{1}{2}$]，則實數(shù)k=-9．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)$\frac{y-1}{x+1}$的取值范圍為[-1，$\frac{1}{2}$]，作出對應(yīng)的直線，利用圖象確定交點坐標A，也在2x+y+k=0上即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
設(shè)k=$\frac{y-1}{x+1}$，則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到定點D（-1，1）的斜率，
∵$\frac{y-1}{x+1}$的取值范圍為[-1，$\frac{1}{2}$]，
∴由$\frac{y-1}{x+1}$=-1，得y=-x，由$\frac{y-1}{x+1}$=$\frac{1}{2}$，得y=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$，
作出y=-x，和y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$的直線，由圖象知y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$與y=x相交于A，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（3，3），
同時A也在2x+y+k=0上，即6+3+k=0，k=-9，
故答案為：-9．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合直線斜率的公式求出交點坐標是解決本題的關(guān)鍵．