Question

6．在等差數(shù)列{a_n}中，若a₃+a₈+a₁₃=12，a₃a₈a₁₃=28．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求a₂₃的值；
（3）-$\frac{16}{5}$是否是數(shù)列{a_n}中的項？

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列的性質(zhì)得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}+{a}_{13}=2{a}_{8}=8}\\{{a}_{3}{a}_{13}=7}\end{array}\right.$，解方程組可得a₃和a₁₃，可得公差d，則通項公式可求；
（2）分別求出在不同通項公式下的a₂₃的值；
（3）把-$\frac{16}{5}$分別代入兩個不同的通項公式，求解n的值得答案．

解答 解：（1）∵在等差數(shù)列中a₃+a₈+a₁₃=3a₈=12，∴a₈=4，
∴a₃a₈a₁₃=4a₃a₁₃=28，∴a₃a₁₃=7，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}+{a}_{13}=2{a}_{8}=8}\\{{a}_{3}{a}_{13}=7}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}=1}\\{{a}_{13}=7}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}=7}\\{{a}_{13}=1}\end{array}\right.$，
當$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}=1}\\{{a}_{13}=7}\end{array}\right.$時，數(shù)列的公差d=$\frac{7-1}{13-3}=\frac{3}{5}$，通項a_n=1+$\frac{3}{5}$（n-3）=$\frac{3n-4}{5}$；
當$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}=7}\\{{a}_{13}=1}\end{array}\right.$時，數(shù)列的公差d=$\frac{1-7}{13-3}=-\frac{3}{5}$，通項a_n=7-$\frac{3}{5}$（n-3）=$\frac{-3n+44}{5}$．
（2）當a_n=$\frac{3n-4}{5}$時，${a}_{23}=\frac{3×23-4}{5}=13$；
當a_n=$\frac{-3n+44}{5}$時，${a}_{23}=\frac{-3×23+44}{5}=-5$．
（3）當a_n=$\frac{3n-4}{5}$時，由$\frac{3n-4}{5}=-\frac{16}{5}$，解得n=-4，不合題意，
∴-$\frac{16}{5}$不是數(shù)列{a_n}中的項；
當a_n=$\frac{-3n+44}{5}$時，由$\frac{-3n+44}{5}=-\frac{16}{5}$，解得n=20．
∴-$\frac{16}{5}$是數(shù)列{a_n}中的第20項．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式，涉及方程組的解法和分類討論，是中檔題．