Question

8．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=\frac{7}{6}$，${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}+\frac{1}{3}$，
（1）當(dāng)${a_n}≠\frac{2}{3}$時(shí)，求證{${a_n}-\frac{2}{3}$}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）通過對(duì)${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}+\frac{1}{3}$變形可知a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），利用${a_n}≠\frac{2}{3}$即得結(jié)論；
（2）通過（1）及等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}+\frac{1}{3}$，
∴a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），
又∵${a_n}≠\frac{2}{3}$，
∴a_n-$\frac{2}{3}$≠0，
∴數(shù)列{${a_n}-\frac{2}{3}$}是公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
（2）解：由${a_1}=\frac{7}{6}$及（1）可知，a_n-$\frac{2}{3}$=（$\frac{7}{6}$-$\frac{2}{3}$）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．