Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=x²lnx-ax²+b在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線方程為y=-x+b．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a及x₀的值；
（Ⅱ）求證：對任意實(shí)數(shù)b∈（0，$\frac{e}{2}$），函數(shù)f（x）有且僅有兩個零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由已知切線方程，可得a，x₀的方程，即可解得a；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，可得極小值和最小值，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理可得f（x）在（$\sqrt{e}$，e）一定有一解．再證f（x）在0＜x＜$\sqrt{e}$時，f（x）＞0．令h（x）=xlnx-x，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和兩點(diǎn)存在定理，即可得證．

解答 （Ⅰ）解：f′（x）=2xlnx+x-2ax，
即有在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線斜率為k=2x₀lnx₀+x₀-2ax₀，
由于在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線方程為y=-x+b，
則有2x₀lnx₀+x₀-2ax₀=-1，x₀²lnx₀-ax₀²+b=b-x₀，
解得x₀=1，a=1；
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）=x²lnx-x²+b，b∈（0，$\frac{e}{2}$），
f′（x）=2xlnx-x，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{e}$，
0＜x＜$\sqrt{e}$，f′（x）＜0，f（x）遞減，
x＞$\sqrt{e}$，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有f（x）在x=$\sqrt{e}$處取得極小值，也為最小值，且為f（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2}$e-e+b＜0，
f（e）=e²-e²+b＞0，
即有f（x）在（$\sqrt{e}$，e）一定有一解．
下證f（x）在0＜x＜$\sqrt{e}$時，f（x）＞0．
令h（x）=xlnx-x，h′（x）=lnx，
0＜x＜1，h（x）遞減，h（x）＞h（1）=-1，
由f（x）=x（xlnx-x）+b=xh（x）+b，
即有f（x）＞b-x，
取x₁∈[1，$\sqrt{e}$]，則f（x₁）＞b-x₁＞0，
則有f（x）在（x₁，$\sqrt{e}$）上一定有一解．
綜上所述，可得對任意實(shí)數(shù)b∈（0，$\frac{e}{2}$），
函數(shù)f（x）有且僅有兩個零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)零點(diǎn)存在定理，屬于中檔題和易錯題．