Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x=0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，g（x）=|sin$\frac{π}{2}$x|，則f（x）與g（x）的圖象在區(qū)間[0，6]上的交點個數(shù)為（　�。�

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 作出兩個函數(shù)的圖象，利用導數(shù)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性和最值，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：當x＞0時，f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
則函數(shù)的導數(shù)f′（x）=$\frac{1-lnx}{x}$，
由f′（x）＞0得1-lnx＞0，解得0＜x＜e，此時函數(shù)遞增，
由f′（x）＜0得1-lnx＜0，解得x＞e，此時函數(shù)遞減，
故當x=e時，函數(shù)取得極大值同時也是最大值f（e）=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$，
作出f（x）與g（x）的圖象在區(qū)間[0，6]上的圖象如圖：
則f（x）與g（x）的圖象在區(qū)間[0，6]上的交點個數(shù)為6個，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)交點個數(shù)的判斷以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．