Question

17．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，數列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是首項為0，公差為$\frac{1}{2}$的等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{4}{15}$•（-2）${\;}^{{a}_{n}}$（n∈N^*），對任意的正整數k，將集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三個元素排成一個遞增的等差數列，其公差為d_k，求證：數列{d_k}為等比數列．

Answer 1

分析 （I）利用等差數列的通項公式可得S_n=$\frac{n（n-1）}{2}$，利用當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（II）由b_n=$\frac{4}{15}$•（-2）${\;}^{{a}_{n}}$=$\frac{4}{15}$•（-2）^n-1，可得：b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1，2b_2k-1=b_2k+b_2k+1，可得：b_2k，b_2k-1，b_2k+1三個元素排成一個遞增的等差數列，其公差為d_k=b_2k+1-b_2k-1，化簡即可證明．

解答 （I）解：由驗證可得：$\frac{{S}_{n}}{n}$=0+（n-1）×$\frac{1}{2}$，∴S_n=$\frac{n（n-1）}{2}$，
∴當n=1時，a₁=S₁=0，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n-1）}{2}$-$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$=n-1，
∴a_n=n-1．
（II）證明：b_n=$\frac{4}{15}$•（-2）${\;}^{{a}_{n}}$=$\frac{4}{15}$•（-2）^n-1，
∴b_2k-1=$\frac{4}{15}（-2）^{2k-2}$=$\frac{4}{15}•{2}^{2k-2}$，b_2k=$\frac{4}{15}•（-2）^{2k-1}$=-$\frac{4}{15}•{2}^{2k-1}$，b_2k+1=$\frac{4}{15}（-2）^{2k}$=$\frac{4}{15}•{2}^{2k}$．
∴b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1，∴2b_2k-1=b_2k+b_2k+1，
可得：b_2k，b_2k-1，b_2k+1三個元素排成一個遞增的等差數列，
其公差為d_k=b_2k+1-b_2k-1=$\frac{4}{15}$（2^2k-2^2k-2）=$\frac{{4}^{k}}{5}$．
∴$\frac{86wygsi_{k+1}}{eq8kky2_{k}}$=$\frac{\frac{{4}^{k+1}}{5}}{\frac{{4}^{k}}{5}}$=4，
∴數列{d_k}為等比數列．

點評 本題考查了遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．