Question

在某學(xué)校的一次選拔性考試中，隨機(jī)抽取了100名考生的成績(jī)（單位：分），并把所得數(shù)據(jù)列成了如下表所示的頻數(shù)分布表：

組別	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
頻數(shù)	5	18	28	26	17	6

（1）求抽取的樣本平均數(shù)x和樣本方差s²（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（2）已知這次考試共有2000名考生參加，如果近似地認(rèn)為這次成績(jī)z服從正態(tài)分布N（μ，σ²）（其中μ近似為樣本平均數(shù)

x

，σ²近似為樣本方差s²），且規(guī)定82.7分是復(fù)試線，那么在這2000名考生中，能進(jìn)入復(fù)試的有多少人？（附：

161

≈12.7，若z～N（μ，σ²），則P（μ-σ＜z＜μ+σ）=0.682，P（μ-2σ＜z＜μ+2σ）=0.9544．）．
（3）已知樣本中成績(jī)?cè)赱90，100]中的6名考生中，有4名男生，2名女生，現(xiàn)從中選3人進(jìn)行回訪，記選出的男生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列與期望E（ξ）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列,正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由所得數(shù)據(jù)列成的頻數(shù)分布表，利用平均數(shù)公式和方差公式能求出抽取的樣本平均數(shù)x和樣本方差s²．（2）由（1）知z～N（70，161），由此能求出P（z＞82.7）=

1-0.6826

2

=0.1587，從而能求出在這2000名考生中，能進(jìn)入復(fù)試人數(shù)．
（3）由已知得ξ的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列與期望E（ξ）．

解答： 解：（1）由所得數(shù)據(jù)列成的頻數(shù)分布表，得：
樣本平均數(shù)

.

x

=45×0.05+55×0.18+65×0.28+75×0.26+85×0.17+95×0.06=70，
樣本方差S²=（-25）²×0.05+（-15）²×0.18+（-5）²×0.28+5²×0.26+15²×0.17+25²×0.06=161，
（2）由（1）知z～N（70，161），
∴P（z＞82.7）=

1-0.6826

2

=0.1587，
∴在這2000名考生中，能進(jìn)入復(fù)試的有：2000×0.1587≈317人．
（3）由已知得ξ的可能取值為1，2，3，
P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，
P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，
P（ξ=3）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

1

5

，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意可能事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．