Question

15．長方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，AB=AD=2，A₁A=2$\sqrt{6}$，M為棱C₁C的中點，C₁D與D₁C交于點N，求證：AM⊥A₁N．

Answer 1

分析 兩條異面直線垂直的證明，通過平行相交，求角是90°即可．或者是建立空間直角坐標系，用向量進行計算．

解答 解法一：
解：由題意：M為棱C₁C的中點，C₁D與D₁C交于點N，即N是C₁D，D₁C的中點．
取A₁B₁的中點E，連接ME，MN．
∵MN${\;}_{=}^{∥}$CD，A₁E${\;}_{=}^{∥}$AB，AB=CD．
∴平面MNA₁E是平行四邊形，則有EM${\;}_{=}^{∥}$A₁N；
所以：AM與A₁N所成的角是∠AME．
取A₁A的中點F，連接NF，由A₁B₁C₁D₁-ABCD是長方體：
∴A₁FN是直角三角形，A₁F=$\frac{1}{2}$A₁A=$\sqrt{6}$，FN=$\sqrt{（BC）^{2}+（\frac{1}{2}AB）^{2}}$=$\sqrt{5}$
∴A₁N=EM=$\sqrt{11}$ 
AE=$\sqrt{{（A}_{1}A）^{2}+（\frac{1}{2}AB）^{2}}=5$
AM=$\sqrt{（A{C）}^{2}+（\frac{1}{2}A{A}_{1}）}=\sqrt{14}$
在△AME中，∵AE²=AM²+EM²，
∴△AME是直角三角形，∠AME=90°，即AM與A₁N所成的角是90°．
故AM⊥A₁N，得證．
解法二：
解：以A為原點，以$\left\{{\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{A{A_1}}}\right\}$為正交基底建立空間直角坐標系，
∵AB=AD=2，A₁A=2$\sqrt{6}$，M為棱C₁C的中點，C₁D與D₁C交于點N，即中點．
則有A（0，0，0），$M（2，2，\sqrt{6}）$，${A_1}（0，0，2\sqrt{6}）$，$N（1，2，\sqrt{6}）$
∴$\overrightarrow{AM}=（2，2，\sqrt{6}）$，$\overrightarrow{{A_1}N}=（1，2，-\sqrt{6}）$，
∵$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{{A_1}N}=2×1+2×2+\sqrt{6}×（-\sqrt{6}）=0$，
∴AM⊥A₁N

點評 本題考查了兩條異面直線垂直的證明，常用方法是通過平行相交，求角是90°即可．或者證明其中一條直線垂直另外一條直線所在的平面．或者是建立空間直角坐標系，用向量進行計算．屬于基礎題．