Question

3．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)滿足xf′（x）+（2-x）f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$（x+lnx-1），則下列不等式一定正確的是（　　）

• A． 4f（1）＜$\sqrt{e}$f（$\frac{1}{2}$）
• B． 4f（2）＜ef（1）
• C． 4ef（2）＞9f（3）
• D． e${\;}^{\frac{3}{2}}$f（$\frac{1}{2}$）＜16f（2）

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造g（x）=$\frac{{x}^{2}f（x）}{{e}^{x}}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答 解：由xf′（x）+（2-x）f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$（x+lnx-1），得$\frac{{x}^{2}f′（x）+（2x-{x}^{2}）f（x）}{{e}^{x}}$=x+lnx-1，
設(shè)g（x）=$\frac{{x}^{2}f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{[{x}^{2}f（x）]′{e}^{x}-[{x}^{2}f（x）]{e}^{x}}{{（e}^{x}）^{2}}$=$\frac{2xf（x）+{x}^{2}f′（x）-{x}^{2}f（x）}{{e}^{x}}$=$\frac{{x}^{2}f′（x）+（2x-{x}^{2}）f（x）}{{e}^{x}}$=x+lnx-1，
設(shè)h（x）=x+lnx-1，則h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且h（1）=0，
則當(dāng)x＞1時，h（x）＞h（1）=0，此時g′（x）=h（x）＞0，此時函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
當(dāng)0＜x＜1時，h（x）＜h（1）=0，此時g′（x）=h（x）＜0，此時函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
由g（2）＞g（1），
即$\frac{4f（2）}{{e}^{2}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，即4f（2）＞ef（1），
由g（3）＞g（2），得$\frac{9f（3）}{{e}^{3}}$＞$\frac{4f（2）}{{e}^{2}}$，即4ef（2）＜9f（3），
由g（$\frac{1}{2}$）＞g（1），
得$\frac{\frac{1}{4}f（\frac{1}{2}）}{{e}^{\frac{1}{2}}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，即4f（1）＜$\sqrt{e}$f（$\frac{1}{2}$），
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．